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Disequazioni razionali intere e fratte

Premessa

La risoluzione delle disequazioni rappresenta un capitolo essenziale nello studio delle funzioni ed è quindi un argomento di studio che, affrontato nei primi anni del Liceo scientifico, viene poi ampiamente applicato in tutti gli anni successivi.

Il metodo tradizionale si articola in alcuni passaggi che sostanzialmente consistono nella ricerca degli intervalli di verità delle singole disequazioni e nella messa a sistema delle soluzioni trovate.

Nei casi più semplici il metodo tradizionale può essere applicato facilmente e in maniera intuitiva, ma quando il problema si complica, come per esempio con disequazioni non lineari o con disequazioni fratte o letterali, diventa farraginoso e può facilmente portare ad errori degli studenti.

Per le diseguaglianze e le disequazioni, rispetto alle uguaglianze ed alle equazioni, esiste infatti una difficoltà aggiuntiva poiché la seconda proprietà invariantiva è applicabile solo quando il fattore è strettamente positivo, cioè non è sufficiente che sia solo diverso da zero, e ciò è fonte generale di errori, soprattuto con un parametro di cui non sia noto il segno.

Per le disequazioni non lineari e per quelle fratte si presenta un'ulteriore difficoltà legata alla determinazione della intersezione tra i diversi insiemi di verità delle singole disequazioni in cui quella originale può essere scomposta, che viene affrontata tradizionalmente con una rappresentazione grafica a più livelli.

Nella trattazione che segue, non faremo riferimento alle disequazioni intere in quanto anche ad esse è possibile applicare la stessa metodologia.

Il metodo alternativo

Visto che l'obiettivo della risoluzione delle disequazioni è la determinazione degli intervalli di verità della relazione, esso consiste in pratica nell'individuazione del segno di uno o più polinomi che costituiscono il primo membro della disequazione stessa: studiare la disequazione f(x) > 0 (o analoghe) consiste nell'individuare gli intervalli dell'asse x in cui la funzione f(x) assume valori positivi.

Il problema si trasforma quindi nella determinazione dei valori di x per cui la funzione f(x) assume un valore nullo: negli altri punti dell'asse reale, la f(x) sarà positiva o negativa e quindi la disequazione sarà soddisfatta o meno.

Qualunque tipo di disequazione può essere trasformata in una equivalente (cioè con gli stessi valori di verità) del tipo f(x) > 0, applicando la prima proprietà invariantiva, valida anche per le disequazioni.

In altre parole, la disequazione:

in cui f1(x), f2(x), g1(x) e g2(x) sono funzioni della variabile x, con g1 (x) e g2 (x) diversi da zero per tutti gli x nel loro dominio, mediante la prima proprietà invariantiva, può essere trasformata nell'equivalente:

ma non possiamo eseguire il minimo comune multiplo perchè i segni di g1(x) e di g2(x)  dipendono ovviamente dal valore di x.

A proposito di tale problema, riporto di seguito un'osservazione tratta da Spirito, Zou, Scalia: La costruzione matematica Vol. 1:

"...finchè l'incognita è indeterminata non possiamo sapere se il denominatore comune che vorremmo eliminare, moltiplicando per esso entrambi i membri, è positivo o negativo. E quindi, finchè non conosciamo le soluzioni, non sappiamo se dobbiamo invertire o no il verso della diseguaglianza".

Il problema è risolto normalmente con lo studio di due sistemi di disequazioni che impongono (nel caso da noi considerato di una disequazione del tipo f(x) > 0) lo stesso segno per denominatore e numeratore:

          e      

senza peraltro superare la difficoltà di una moltiplicazione per fattori (g1(x)  e g2(x)) dal segno indeterminato.

Per evitare il problema è invece più corretto ridimensionare l'obiettivo determinando semplicemente gli zeri del polinomio
f1(x)/g1(x)
- f2(x)/g2(x) (che ci permetteranno di dedurre gli intervalli in cui questo assume valori diversi da zero e quindi positivi o negativi); possiamo in altre parole risolvere la corrispondente equazione   f1(x)/g1(x) - f2(x)/g2(x) = 0  utilizzando le due proprietà invariantive:

Ora, considerato che il segno del polinomio a primo membro dipenderà sia dal segno del numeratore che da quello del denominatore, e che il segno del rapporto è sempre uguale a quello del prodotto degli stessi fattori, possiamo riscrivere il problema nella maniera più semplice, moltiplicando ambo i membri dell'equazione per g1*g2 e imponendo che tale fattore sia diverso da zero:

Osserviamo nuovamente che i valori di x che fanno cambiare i segni del polinomio a primo membro dell'equazione precedente corrispondono a quelli del polinomio originale, in quanto abbiamo applicato le sole due proprietà invariantive, e che quindi il problema è stato trasformato in uno equivalente.

Si tratta ora di risolvere l'equazione determinandone gli zeri che possono essere essenzialmente di tre tipi distinti:

A) zeri reali di molteplicità dispari, intendendo per molteplicità il numero di volte che si presenta lo stesso zero in valore e segno (se, ad esempio, lo zero x = 2 è presente 3 volte, la sua molteplicità è dispari);

B) zeri reali di molteplicità pari, con lo stesso significato di molteplicità;

C) zeri complessi coniugati.

Orbene, per il teorema fondamentale dell'algebra, il segno del polinomio cambia soltanto in corrispondenza degli zeri reali di molteplicità dispari.

Facciamo inoltre notare che, per il principio d'annullamento del prodotto, gli zeri dei due polinomi:
f1(x) g2(x) - f2(x) g1(x)  e  g1(x) g2(x) si possono ottenere facilmente con le due equazioni:
f1(x)
g2(x) - f2(x) g1(x) = 0 e g1(x) g2(x) = 0, rispettivamente.

Per determinare i valori di verità della disequazione, sarà a questo punto sufficiente riportare su un unico grafico tutte le soluzioni reali, indicando quelle di molteplicità pari con parentesi tonde () e quelle di molteplicità dispari con parentesi quadre [] per poterli facilmente distinguere tra loro, in ordine crescente da sinistra verso destra:

--------[]--------------[]------------()-----------()-----------------[]----------------
        x1             x2           x3              x4                x5

con x1, x2, x5 reali di molteplicità dispari e x3, x4 reali di molteplicità pari (gli zeri complessi coniugati ovviamente non vanno riportati sull'asse reale...).

Visto che il segno del polinomio cambia solo in corrispondenza degli zeri reali di molteplicità dispari, è sufficiente stabilire il segno del polinomio all'interno di un qualsiasi intervallo (con la sostituzione di un qualsiasi valore di x interno all'intervallo) per poter poi in maniera automatica individuare il segno in tutti gli altri intervalli.

Se, ad esempio, il polinomio assume un valore positivo nell'intervallo ]x3,x4[, i segni negli altri saranno quelli rappresentati in figura:

   +           -              +            +               +               -

--------[]--------------[]------------()-----------()-----------------[]----------------

         x1             x2           x3             x4                 x5

Per di più, senza alcuna sostituzione, è possibile stabilire il segno del polinomio per valori di x maggiori del più grande tra gli zeri reali (nel nostro caso x5) individuando il segno del termine di grado maggiore che resterà immutato per tutto l'intervallo ]x5,+ [ e stabilire poi il segno in tutti gli altri intervalli alternandolo con quello precedente, se lo zero è indicato da una coppia di parentesi quadre (radici reali di molteplicità dispari) o lasciandolo inalterato se lo zero è indicato da una coppia di parentesi tonde (radici reali di molteplicità pari).

Questa ultima osservazione è particolarmente utile per le disequazioni di grado elevato.

La soluzione della disequazione sarà quindi rappresentata da tutti gli intervalli il cui il valore di x farà assumere un valore positivo (nel nostro caso) al polinomio:

- < x < x1
x2 < x < x3
x3 < x < x4
x4 < x < x5

Nel caso che la disequazione sia del tipo f(x) 0 oppure f(x) 0 bisognerà comunque escludere i valori di x che annullano il denominatore della disequazione originale (nel nostro caso tutti i valori di x per cui g1(x) = 0 oppure g2(x) = 0), che, pur comportando una modifica del segno del rapporto, costituiscono punti di asintoto verticale; per comodità quindi converrà indicare tali valori con un simbolo speciale () o [] rispettivamente. Supponendo che gli zeri da escludere siano x2 ed x4, il grafico del nostro esempio diventerebbe:

   +          -               +             +                +              -

--------[]--------------[]------------()-----------()-----------------[]----------------

        x1              x2            x3            x4                 x5

Per l'applicazione pratica del metodo, controllare gli esempi che lo confrontano con quello tradizionale riportati di seguito.


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