Il calcolo dei radicali

E' questo ancora un argomento del programma di matematica che comporta un dispendio di tempo notevole, pur non considerando l'uso di calcolatrici scientifiche e di computer che lo rendono oggi del tutto inutile.

Basandosi però sulle proprietà delle potenze già ricordate, tutte le astruse complicazioni del calcolo si possono superare facilmente, senza utilizzare regole aggiuntive a quelle già note.

Semplificazione di un radicale:

La semplificazione di un radicale si ottiene dividendo sia l'indice che l'esponente del radicando per un eventuale fattore comune (se non esiste il fatore comune, il radicale viene detto irriducibile):

come immediata conseguenza delle proprietà delle frazioni, applicate all'esponente.

Moltiplicazione di due radicali con lo stesso indice:

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale (con lo stesso indice) che ha per radicando il prodotto dei due radicandi:

come immediata conseguenza delle proprietà delle potenze con lo stesso esponente.

La cosa si complica quando gli indici non sono uguali perchè bisogna trasformare i due radicali dati in equivalenti con lo stesso indice; in questi casi la regola è molto più complessa e non la enunceremo, ricordando invece che, con le potenze ad esponente frazionario, si tratta semplicemente di eseguire la somma delle due frazioni 1/p e 1/n che esprimono i due esponenti:

- se hanno lo stesso radicando:

- se hanno radicandi diversi:

Divisione di due radicali con lo stesso indice:

Il rapporto di due radicali con lo stesso indice è un radicale (con lo stesso indice) che ha per radicando il rapporto dei due radicandi:

Come sopra la cosa si complica se gli indici non sono uguali perchè bisogna trasformare i due radicali dati in equivalenti con lo stesso indice:

• se hanno lo stesso radicando:

• se non nanno lo stesso radicando:

Trasporto di un fattore esterno sotto il simbolo di radice:

In questo caso si deve ricordare che è possibile trasportare sotto radice solo un fattore positivo (o non negativo) e quindi, quando non ne sia accertato il segno, si dovrà indicare chiaramente tale condizione.

Un fattore non negativo si può trasportare sotto il simbolo di radice, elevandolo alla potenza con esponente uguale all'indice della radice:

Trasporto di un fattore interno fuori dal simbolo di radice:

Anche in questo caso si deve ricordare che è possibile trasportare fuori dalla radice solo un fattore positivo (o non negativo) e quindi, quando non ne sia accertato il segno, si dovrà indicare chiaramente tale condizione.

Un fattore non negativo si può trasportare fuori dal simbolo di radice, dividendo il suo esponente (che si suppone maggiore dell'indice della radice) per l'indice della radice; l'eventuale resto della divisione è l'esponente dello stesso fattore che rimane sotto il segno:

ove abbiamo semplicemente ridotto ai minimi termini la frazione (n+k)/n.

Come già chiarito, conviene porre molta attenzione al segno del fattore che si intende portare fuori o inserire sotto il simbolo di radice.

Facciamo un esempio:

Se si suppone che il radicale abbia iniazialmente un valore positivo (come è lecito pensare), nel primo caso (visto che anche x-1 è positivo) il segno dell'espressione rimane inalterato, mentre nel secondo, senza cambiare segno al binomio x-1, l'espressione assumerebbe un valore negativo!

Molto spesso questa considerazione viene trascurata con conseguenze gravi, soprattutto nella discussione delle disequazioni.....

Potenza di un radicale o radice di una radice

Nel caso dell'uso della convenzione tradizionale (cioè con i radicali) bisogna distinguere i due casi:

Per eseguire la potenza di un radicale è necessario moltiplicare sia l'esponente del radicando per il numero (che rappresenta l'esponente della potenza a cui il radicale deve essere elevato).

Per eseguire la radice di una radice è necessario moltiplicare l'indice della radice per il numero (che rappresenta l'indice della radice che deve essere applicato al radicale).

Quando invece si usa la notazione degli esponenti frazionari è invece sufficiente moltiplicare tutti gli esponenti per il numero intero (nel caso di potenza di un radicale) o frazionario (nel caso di radice di radice):

La notazione ad esponenti frazionari riesce dunque a semplificare notevolmente il calcolo dei radicali, ma esso ha l'indubbio vantaggio di evidenziare lo sviluppo dell'insieme dei numeri reali che, a partire dalle potenze ad esponente naturale, e attraverso le potenze ad esponente razionale (radicali), ci permette di definire la funzione esponenziale.

Questa stessa notazione, considerando i radicali come potenze, sia pure ad esponente frazionario, ci permette di evitare errori comuni che certamente non faremmo con potenze ad esponente naturale; nessuno si sognerebbe di operare in questo modo:

(x+1)² = x²+1 perchè si tratta evidentemente del quadrato di un binomio, mentre è comune l'errore

Il radicando di un radicale va quindi sempre considerato come la base di una potenza.

Razionalizzazione di un denominatore

La trasformazione di una frazione con denominatore irrazionale in una equivalente con denominatore razionale è dettata da ragioni pratiche (legate alla difficoltà dello sviluppo del calcolo con espressioni irrazionali), ma soprattutto a problemi di approssimazione numerica che si incontrerebbero con i radicali al denominatore: mentre è sicuramente difficile conoscere il valore approssimato di 1/√2, visto che non sappaiamo con quale approssimazione eseguire la divisione, lo stesso numero razionalizzato √2/2 può essere approssimato facilmente.

Senza trattare dettagliatamente tutti i casi di razionalizzazione, forniamo di seguito un metodo generale che può applicare ai più comuni esercizi presentati nelle scuole.

Caso di un solo radicale al denominatore:

per le proprietà delle frazioni, al fine di rendere intero l'esponente dell'espressione a denominatore, è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa potenza:

Caso di due radicali con lo stesso indice a denominatore:

Per la ricerca del polinomio, utilizzare la tabellina dei prodotti notevoli riportata nel paragrafo 3.b del capitolo dedicato alle “Regole generali per la scomposizione dei polinomi”.