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Funzioni esponenziali

Definizione:

Si definisce funzione esponenziale di base a > 0 la funzione reale y = expa(x)
che fa corrispondere ad ogni x R il numero reale positivo ax.


Proprietà della funzione esponenziale y = ax o y = expa(x)

La funzione è sempre positiva, ∀ x ∈ R.

Infatti, visto che a > 0:

se x > 0 la funzione è certamente positiva; se x < 0, ricordando che a-x = 1/ax , e quindi la funzione è ancora positiva perchè tale è sia il numeratore che il denominatore.

Quando la base a è maggiore di 1: Se x è positivo, la funzione assume valori maggiori di 1; se x è negativo valori compresi tra 0 ed 1.

Quando la base a è minore di 1: Se x è positivo, la funzione assume valori compresi tra 0 ed 1; se x è negativo valori maggiori di 1.


La funzione è sempre crescente se la base a è maggiore di 1.

La funzione è sempre decrescente se la base è minore di 1.


Analogamente nel caso che (x2 -x1) sia negativo, cioè che x2 preceda x1.

L'asse delle ascisse è asintoto orizzontale per la funzione sia nel caso che la base a sia maggiore di 1 (x -> -∞ ) che in quello di una base a positiva e minore di 1 (x -> +∞ ).

L'expa(0) = 1, qualunque sia la base positiva a.

A parità di variazione di x, la velocità di variazione della funzione è tanto più grande quanto maggiore è il valore della base a (con a > 1) e tanto più piccola quanto minore è il valore di a (con a < 1).

Le funzioni esponenziali di basi una inversa dell'altra sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, cioè assumono lo stesso valore per valori opposti di x.

Nelle applicazioni che coinvolgono funzioni esponenziali è sempre opportuno far riferimento mnemonico alla rappresentazione grafica dei due tipi (per a >1 o per a < 1):


Tutte le funzioni esponenziali, qualunque sia la base a > 0, intersecano l'asse delle ordinate in 1.

Le funzioni esponenziali sono state utilizzate anche per il calcolo (su di esse è basato il regolo calcolatore usato nei calcoli scientifici e tecnici prima dell'avvento delle calcolatrici e dei computer).

Per illustrare il metodo, facciamo un semplice esempio per le moltiplicazioni (ma quanto detto, con le necessarie differenze, vale anche per le divisioni, le potenze e i radicali), basata quindi sulla proprietà: am an = a m+n, che evidenzia come il prodotto di due potenze (con la stessa base) sia uguale alla potenza (nella stessa base) che ha per esponente la somma dei due esponenti.

Ad esempio, utilizzando il grafico dell'esponenziale in base 2 (ma avremmo potuto usare una base differente) per eseguire il semplice prodotto di 4*16, troviamo i valori di x corrispondenti agli esponenziali 4 e 16 (che sono rispettivamente 2 e 4, perchè 22 = 4 e 24 = 16), sommiamo questi due valori, ottenendo 6 e cerchiamo poi sullo stesso grafico il valore dell'esponenziale di 6 che risulta essere 64.

L'esempio è stato presentato per facilitare la comprensione del metodo.

Le utilizzazioni nel calcolo numerico saranno chiarite nel paragrafo successivo con la trattazione dei logaritmi.

Fra le infinite possibili basi per gli esponenziali, due fra esse assumano particolare importanza: la base 10 e quella nel numero irrazionale 'e' (2,718281828459045...).

L'importanza della base 10 è ovviamente legata al fatto che nei calcoli utilizziamo il sistema decimale; quella del numero di Nepero 'e' è invece dovuta al fatto che molte leggi scientifiche lo utilizzano per descrivere i fenomeni naturali.

Dalla definizione della funzione esponenziale si deduce facilmente che exp10(n), con n naturale, è dato dalla cifra 1 seguita da un numero di zeri pari all'esponente n.

Quindi se exp10(3) < x < exp10(4) il numero x sarà certamente compreso tra 1.000 e 10.000.

Come si può dimostrare, la funzione esponenziale, con base maggiore di 1, almeno da un certo valore di x in poi, assume valori maggiori di quelli di una qualsiasi funzione polinomiale, qualunque ne sia il grado: pertanto le funzioni esponenziali possono rappresentare tutti i fenomeni con uno sviluppo 'esplosivo' come, ad esempio, il numero di neutroni prodotto in una reazione a catena o quello dello sviluppo di una popolazione non soggetta ad alcuna limitazione naturale.

Dalla tabella che segue, in cui sono riportati due parziali sviluppi per l'esponenziale in base 2 e 3, si può osservare facilmente che il rapporto tra l'incremento della funzione (ax+1-ax) e quello della funzione (ax), riportato nella quarta e nella ottava colonna della tabella, rimane in ogni caso costante; ciò significa che numeratore e denominatore sono funzioni esponenziali e quindi possiamo dedurre che in una funzione esponenziale l'incremento della funzione è anch'esso una funzione esponenziale con lo stesso andamento di quella (come evidenziato dalle ultime colonne della tabella).



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