Matematica per tutti
Suggerimenti, proposte, opinioni... per la didattica della Matematica
Inviate le vostre proposte, commenti, obiezioni ... a Giorgio Lironcurti:    giorgio.lir@virgilio.it        
(salva il file .pdf)
Equazioni esponenziali
Equazioni logaritmiche
Leggere e trasformare un'espresione algebrica
Equazioni algebriche
Disequazioni intere e fratte
Disequazioni irrazionali e in valore assoluto
Funzioni goniometriche
Trigonometria
Equazioni goniometriche
Potenze: dagli esponenti naturali a quelli reali
Funzione esponenziale e logaritmo
Equazioni esponenziali e logaritmiche
Disequazioni di funzioni periodiche, esponenziali e logaritmiche
Home

Equazioni esponenziali

E' esponenziale un'equazione in cui l'incognita figura come esponente:

ove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali o semplicemente la variabile x.

Dal grafico delle funzioni esponenziali con base a ∈ R+ (reale positiva), maggiore o minore di 1:

si deduce immediatamente che k/h deve essere strettamente positivo (perchè altrimenti l'equazione non avrebbe soluzione) e che sia nel caso di basi > 1 che in quello di basi minori di 1 (ma sempre maggiori di 0), la soluzione di un'equazione esponenziale è sempre unica.

Tutte le equazioni esponenziali, anche nel caso più complesso, sono risolubili graficamente trovando l'intersezione delle due curve:

In generale le equazioni esponenziali si risolvono applicando ad ambo i membri la sua funzione inversa (il logaritmo), in quanto

Così, ad esempio:

5x = 1/25 = 5-2 ---> log5(5x) = log5(5-2) --> x = -2

Ovviamente lo stesso metodo è applicabile quando le due potenze abbiano la stessa base come nell'esempio che segue (equazioni binomie con la stessa base):

Quindi in generale:


e si complica parzialmente quando le basi non siano uguali (equazioni binomie con base diversa) perchè in tal caso bisogna calcolare il fattore per passare da una base all'altra secondo la:

come nell'esempio successivo:

o, in generale:

Nel caso, infine, che le equazioni esponenziali (P(af(x)) = 0) siano risolubili con una posizione del tipo z = af(x), si dovrà risolvere un sistema costituito dalle due equazioni:

z = af(x)

P(z) = 0

Ad esempio, per l'equazione: basterà risolvere il sistema:

z = af(x)

m z2+ n z + p = 0

sostituendo i valori di z ricavati dalla seconda equazione nella prima.


a inizio pagina