Equazioni esponenziali E' esponenziale un'equazione in cui l'incognita figura come esponente:
ove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali o semplicemente la variabile x. Dal grafico delle funzioni esponenziali con base a ∈ R+ (reale positiva), maggiore o minore di 1: si deduce immediatamente che k/h deve essere strettamente positivo (perchè altrimenti l'equazione non avrebbe soluzione) e che sia nel caso di basi > 1 che in quello di basi minori di 1 (ma sempre maggiori di 0), la soluzione di un'equazione esponenziale è sempre unica. Tutte le equazioni esponenziali, anche nel caso più complesso, sono risolubili graficamente trovando l'intersezione delle due curve: In generale le equazioni esponenziali si risolvono applicando ad ambo i membri la sua funzione inversa (il logaritmo), in quanto Così, ad esempio: 5x = 1/25 = 5-2 ---> log5(5x) = log5(5-2) --> x = -2 Ovviamente lo stesso metodo è applicabile quando le due potenze abbiano la stessa base come nell'esempio che segue (equazioni binomie con la stessa base): Quindi in generale:
e si complica parzialmente quando le basi non siano uguali (equazioni binomie con base diversa) perchè in tal caso bisogna calcolare il fattore per passare da una base all'altra secondo la: come nell'esempio successivo: o, in generale: Nel caso, infine, che le equazioni esponenziali (P(af(x)) = 0) siano risolubili con una posizione del tipo z = af(x), si dovrà risolvere un sistema costituito dalle due equazioni: z = af(x) P(z) = 0 Ad esempio, per l'equazione: basterà risolvere il sistema: z = af(x) m z2+ n z + p = 0 sostituendo i valori di z ricavati dalla seconda equazione nella prima.
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