Proprietà delle funzioni goniometriche

Dalla definizione delle funzioni goniometriche si ricava facilmente che le funzioni sin(x) e cos(x) assumono sempre valori compresi nell'intervallo [-1,1], mentre la funzione tan(x) può assumere tutti i valori reali compresi tra ]-∞ , + ∞[;

per π/2 < x < π:

per π < x < 3/2 π:

per 3/2 π < x < 2 π:

Ricordando poi la definizione di funzione crescente:

e quella di funzione decrescente:

o semplicemente osservando le figure, si può ricavare che:

la funzione sin(x) è crescente nel I e IV quadrante, decrescente nel II e III quadrante;

la funzione cos(x) è decrescente nel I e II quadrante, crescente nel III e IV quadrante;

la funzione tan(x) è crescente nel I e III quadrante, decrescente nel II e IV quadrante.

Questi andamenti possono essere rappresentati sinteticamente dalle seguenti figure, che individuano il segno (positivo o negativo, con i simboli + e -) e la crescenza o decrescenza (con le frecce ↑ e ↓) nei singoli quadranti:

Ad ulteriore chiarimento dell'andamento delle tre funzioni nell'intervallo [0, 2 π] forniamo la loro rappresentazione grafica:

Le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche di periodo T = 2 π , cioè assumono lo stesso valore in tutti gli angoli che differiscono tra loro di multipli interi di 2π o, in altri termini:

sin(x∓2k π) = sin(x) per k=0,1,2,3,.... e anche: cos(x∓2k π) = cos(x) per k=0,1,2,3,....

mentre la funzione tangente è periodica di periodo T = π, cioè:

tan(x∓k π) = tan(x) per k=0,1,2,3,....