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Premetiamo la definizione di funzione periodica: Una funzione f(x) è periodica di periodo T se si verifica che: f(x±
kT) = f(x) con k=0,1,2,3,....
cioè
se la funzione assume lo stesso valore (in valore e segno) in x, x±
T, x±2T, x±3T,.... Tipiche funzioni periodiche sono quelle goniometriche: sin(x), cos(x), tan(x) di cui ci occuperemo dettagliatamente. Le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche di periodo T = 2π, mentre la funzione tan(x) è periodica di periodo T = π. Pertanto, ad esempio, sin(x+10π) = sin(x-6π) = sin(x), ma sin(x+3π) ≠ sin(x). Per quanto riportato sopra, lo studio di una funzione periodica qualunque, ed in particolare di una funzione goniometrica, può essere effettuato in un qualsiasi intervallo di valori di ampiezza pari al rispettivo periodo T, in quanto essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo. Sulla base di questa osservazione si può facilmente delineare una procedura generale per lo studio di una qualsiasi funzione periodica (e quindi anche per la risoluzione delle relative equazioni e disequazioni):
La forma generale sarà del tipo sin(f(x)) = m, con -1 ≤ m ≤ 1 perchè al di fuori di tale intervallo l'equazione non ha certamente soluzione. L'equazione si risolve sempre con il sistema: y = f(x)
trovando le
soluzioni di: sin(y) = m e sostituendo tutti
i valori trovati
nella prima: y = f(x), per ottenere le soluzioni cercate in funzione
di x. sin(y) = m Lo stesso metodo si applica ovviamente anche all'equazione cos(f(x)) = m, con la stessa limitazione per il valore di m, mentre per l'equazione tan(f(x)) = m, non si hanno limitazioni per il valore di m. Il primo problema da risolvere è dunque quello di trovare le soluzioni dell'equazione sin(y) = m, o cos(y) = m o ancora tan(y) = m, con le limitazioni già indicate per la costante m. Vista la periodicità delle funzioni (∓ 2kπ per il seno ed il coseno e ∓ kπ per la tangente), è sufficiente trovare quelle comprese in [0,2π], sia per il seno che per il coseno e in ]-π/2,+π/2[ per la tangente, e poi aggiungere ad esse la periodicità indicata. Le funzioni goniometriche hanno come argomento angoli espressi in radianti e quindi un'equazione del tipo: cos(x) = - 0.5 ha per soluzione l'insieme costituito da tutti gli infiniti valori degli angoli x che hanno un coseno uguale a - 0.5. Da un punto di vista pratico, non potremo di conseguenza rappresentare tutte le soluzioni su un asse, come fatto nei casi delle equazioni e disequazioni algebriche. Per di più, a causa della periodicità di tali funzioni, non potremo individuare il segno di un 'termine dominante', che non esiste più, e quindi, per stabilire il segno del polinomio a primo membro dell'equazione in tutti gli intervalli (che ora sono infiniti), dovremo calcolare il segno in un qualsiasi intervallo, alternando o meno i segni negli intervalli successivi o precedenti. Facciamo un semplicissimo esempio: le soluzioni dell'equazione sin(x) = 2/2 sono: ¼ π e ¾ π (in [0,2π[) e quindi, sull'intero asse reale: ¼ π ± 2kπ e ¾ π ± 2kπ con la seguente rappresentazione grafica per l'intervallo ]-2π , +2π[ ⊕ ⊖ ⊕ ⊖ ⊕ ⊖ ----------[-7/4π]---------[-5/4π]------------[¼π]------------[3/4π]------------[9/4π]--------- ove i segni sono stati stabiliti con le solite regole a partire dal calcolo effettuato in ]-5/4π,¼π[. Per la risoluzione delle equazioni goniometriche possiamo utilizzare sia la circonferenza goniometrica che la rappresentazione grafica delle funzioni. Anche se i metodi da impiegare per la risoluzione sono tra loro simili, bisogna trattare le singole funzioni separatamente. Nota: Gli angoli sono espressi in radianti, misurati in senso antiorario. Gli angoli negativi sono quindi misurati in senso orario. |
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