Equazioni logaritmiche

E' logaritmica un'equazione in cui l'incognita figura come argomento di un logaritmo:

ove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali o semplicemente la variabile x.

Dal grafico delle funzioni logaritmiche con base a ∈ R⁺ (reale positiva), maggiore o minore di 1:

si deduce immediatamente che k/h è un numero reale qualsiasi e che sia nel caso di basi > 1 che in quello di basi minori di 1 (ma sempre maggiori di 0), la soluzione di un'equazione logaritmica è sempre unica.

Tutte le equazioni logaritmiche, anche nel caso più complesso, sono risolubili graficamente trovando l'intersezione delle due curve:

In generale le equazioni logaritmiche si risolvono applicando ad ambo i membri la sua funzione inversa (l'esponenziale), in quanto

Analogamente al caso delle equazioni esponenziali, anche per quelle logaritmiche, valgono le regole generali:

Nel caso, infine, che le equazioni logaritmiche (P(log_a(f(x)) = 0) siano risolubili con una posizione del tipo z = log_a(f(x), si dovrà risolvere un sistema costituito dalle due equazioni:

z = log_a(f(x)

P(z) = 0

Ad esempio, per l'equazione: basterà risolvere il sistema:

z = log_a(f(x)

m z²+ n z + p = 0

sostituendo i valori di z ricavati dalla seconda equazione nella prima.