2) La semplificazione delle espressioni matematiche.

L'obiettivo della matematica è la risoluzione dei problemi rappresentati da modelli: quello algebrico è il più utilizzato, soprattutto al giorno d'oggi con la diffusione dei computer, ma ne esistono altri altrettanto potenti nella rappresentazione dei problemi, regolati strumenti linguistici differenti (grafici, geometrici, a blocchi, ecc.).

Per chiarezza dei lettori, diamo alcune definizioni che utilizzeremo di seguito:

Per espressione algebrica intendiamo un'opportuna combinazione di simboli letterali (a, b, x, ecc.), numerici e operazionali (+, -, *, ecc.) ammessa dalla sintassi matematica.

Per fattore intendiamo un'espressione algebrica che ne moltiplica (o divide) un'altra -che può anche essere il numero 1.

Per termine intendiamo un'espressione algebrica che viene sommata (o sottratta) ad un'altra -che può anche essere il numero 0.

I fattori e i termini, combinati tra loro dai simboli operazionali, sono gli unici elementi di un'espressione algebrica.

Molte difficoltà degli studenti sono legate all'incapacità di distinguere tra loro i fattori dai termini (anche se può sembrare inverosimile) .

L'obiettivo del calcolo algebrico è di ridurre la complessità dell'espressione analizzata, legata a due elementi distinti: il grado dell'espressione ed il numero dei suoi termini, quindi:

Questi obiettivi sono legati a due semplici considerazioni pratiche:

a) ridurre il numero dei termini di un'espressione comporta una riduzione del numero delle operazioni da eseguire e permette di lavorare con espressioni più semplici, come possiamo facilmente constatare confrontando, ad esempio, il numero di operazioni necessarie per eseguire un calcolo con l'espressione:

x⁶-ax⁵+bx⁴-abx³

che comporta 18 prodotti e 3 somme algebriche, o con quella equivalente alla precedente:

x³(x-a)(x²+b)

che comporta però, oltre alla semplificazione dei singoli valori, soltanto 5 prodotti e 2 somme algebriche.

La riduzione del numero dei termini è una regola da seguire sempre e quindi si dovranno evitare tutte le operazioni che potrebbero portare ad un loro aumento, a meno che queste non siano legate a successive semplificazioni di termini simili o a fattorizzazioni.

Facciamo esplicitamente notare che la fattorizzazione di un polinomio (ad esempio: x³-y³ = (x-y)(x²+xy+y²)), in effetti, oltre a ridurre il grado massimo dei polinomi, riduce il numero dei termini (portandolo dai 2 originali ad 1 finale).

b) la scomposizione in fattori dei polinomi è legata invece alla considerazione che le espressioni sono un modello di rappresentazione dei problemi e che questi sono tanto più complessi quanto più alto è il loro grado.

Il criterio è generale: ogni problema complesso, per la sua soluzione, deve essere scomposto in più problemi semplici.

Le procedure da adottare per la scomposizione in fattori dei polinomi rispondono ad un'esigenza logica dell'uomo e non sono, come spesso vengono considerate, un inutile esercizio.

Le regole per la scomposizione non sono poi così astruse come si può pensare, ma sono classificabili con metodi generali, facilmente impiegabili in maniera automatica.
Con questo scritto ci proponiamo di delineare una metodologia generale per la lettura delle espressioni algebriche mediante la quale comprendere la successione logica dei passaggi necessari per la loro semplificazione ed evitare i normali errori grossolani che fanno tanto inorridire i docenti.

Per chiarire la procedura, facciamo subito un esempio applicandolo ad un'espressione algebrica frazionaria complessa:

Il livello successivo (in questo caso 4) è costituito dai fattori contenuti nei termini indicati al livello 3 (che, per brevità, non elenchiamo).

In generale, ma non sempre..., un fattore contiene alcuni termini e un termine contiene alcuni fattori e così via fino ad arrivare a singoli elementi (fattore semplice o termine semplice) come, nel nostro caso, x oppure y oppure il numero -2.....

Ebbene, vale la seguente regola generale:

E' quindi essenziale distinguere i termini dai fattori perchè non è mai possibile sommare (o sottrarre) due fattori o moltiplicare (o dividere) due termini!!!

Ma questo è un errore ricorrente:

Senza rendercene conto, abbiamo diviso per un termine!!!

Andiamo a descrivere dettagliatamente la procedura da utilizzare in ogni caso, a partire dall'esempio.

Livello 1:

Individuati i 2 termini, si verifica se siano simili tra loro o se esista un fattore comune a tutti: nel primo caso, si sommano algebricamente, nel secondo si deve sempre mettere in evidenza il loro M.C.D.; in caso contrario si passa al livello successivo. Queste operazioni portano ad una riduzione del numero dei termini.

Nel nostro caso, i due termini:

e

non sono simili tra loro e non hanno fattori comuni, quindi si passa al livello successivo.

Livello 2:

Per il primo termine del liv. 1, si verifica se esistano fattori multipli uno dell'altro: nel caso lo fossero, si dividono per il loro M.C.D.; in caso contrario si passa al livello successivo.

Si esegue la stessa sequenza per il secondo termine del liv. 1.

Queste operazioni comportano, se eseguite, ad un abbassamento del grado complessivo.

Nel nostro caso, i 2 fattori del primo termine:

3x⁴+6x²y²    e    x³+x²y+2xy²+2y³

come quelli del secondo:

3x²y² + 6x⁴    e     x³-x²y+2xy²-2y³

non sono multipli uno dell'altro e quindi si passa al livello successivo.

Livello 3:

Per ognuno dei fattori del liv. 2 (4 nel nostro caso), costituiti da alcuni termini, si verifica se siano simili tra loro o se esista un fattore comune a tutti: nel primo caso, si sommano algebricamente, nel secondo si deve sempre mettere in evidenza il loro M.C.D.; in caso contrario, si passa al livello successivo. (notare che la procedura utilizzata è la stessa del livello 1, perchè, in tutti e due i casi, stiamo trattando termini)

Si ripete la stessa procedura per tutti gli altri fattori del liv. 2.

Nel nostro caso,
il primo fattore del liv. 2 è costituito da 2 termini non simili tra loro, ma con un fattore comune a tutti e due (3x²) e quindi può essere riscritto nel seguente modo:

3x⁴+6x²y²=3x²(x²+2y²)  (notiamo che il numero dei termini passa da 2 ad 1)

il secondo fattore del liv. 2 è costituito da 4 termini non simili tra loro, senza alcun fattore comune a tutti e quattro, ma è possibile raccogliere un fattore comune ai primi due termini (portando in tal modo il numero dei termini da 4 a 2) e quindi può essere riscritto nel seguente modo:

x³+x²y+2xy²+2y²= x²(x+y)+2y²(x+y)  (notiamo che il numero dei termini passa da 4 a 2)

a questo punto, si osserva che esiste un fattore comune a tutti e due i termini e quindi è possibile metterlo in evidenza, ottenendo:

x³+x²y+2xy²+2y²= (x+y)(x²+2y² )  (che riduce il numero di termini da 2 ad 1).

Questa procedura è effettivamente conveniente solo quando sia possibile ottenere due termini con un ulteriore fattore comune.

Il terzo fattore è costituito da 2 termini e, con la stessa procedura, può essere riscritto:

3x²y² + 6x⁴ =  3y²(x²+2y² )(che riduce il numero di termini da 2 ad 1);

Il quarto fattore è costituito da 4 termini e, con la stessa procedura, può essere riscritto:

x³-x²y+2xy²-2y³ = x²(x-y)+2y²(x-y) =(x-y)(x²+2y² ) ( che riduce i termini da 4 a 1);

L'espressione originale può quindi essere riscritta:

La situazione è cambiata e quindi si deve ricominciare la procedura da capo, a partire dall'ultima versione dell'espressione.

Livello 1:

Si osserva che fra i 2 termini esistono alcuni fattori comuni, che si possono raccogliere a fattore:

Abbiamo ottenuto il risultato importante di ridurre l'espressione originale ad un solo termine con elementi di calcolo molto più semplici di quelli originali.

Essendo il termine uno solo, non ci resta altro da fare se non passare al livello successivo, analizzandone i due fattori.

Livello 2:

Non conviene eseguire la moltiplicazione indicata perchè ciò aumenterebbe il numero dei termini, e non conviene neppure eseguire la 'somma' dei 2 termini in parentesi perchè si otterrebbe un polinomio di terzo grado irriducibile. Il risultato finale è dunque:

che è un termine irriducibile, non esistendo alcun fattore comune.

Prima di presentare altri esempi di applicazione del metodo, conviene fornire alcune regole per il riconoscimento di prodotti notevoli da utilizzare nella scomposizione dei polinomi in  fattori.   
   

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