Trigonometria.

Teoremi di Euclide e Pitagora

Dalle proprietà dei triangoli simili, si possono facilmente ricavare i teoremi di Euclide e Pitagora, utili per la risoluzione di molti problemi geometrici.

Consideriamo i tre triangoli rettangoli BAC, AHC, AHB della figura:

Si ha che:

a₁ = b cos(γ) a = b/cos(γ) e quindi: a a₁ = b²

a₂ = c cos(β) a = c/cos(β) e quindi: a a₂ = c²

che esprimono i due teoremi di Euclide:

Il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'intera ipotenusa.

Il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Ancora dagli stessi triangoli rettangoli, si ricava che:

b = a cos(γ), c = a sin(γ), e quindi: b² = a² cos²(γ), c² = a² sin²(γ) da cui

b² + c² = a²(cos²(γ)+sin²(γ)) = a²

che esprime il teorema di Pitagora:

Il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.