Definizione delle funzioni goniometriche fondamentali

In un sistema cartesiano orogonale Oxy, consideriamo i triangoli rettangoli tra loro simili OAB, OA'B', OA”B”,... con un angolo x in comune:

In essi il rapporto tra i lati omologhi è ovviamente costante, funzione solo dell'ampiezza dell'angolo x: è quindi possibile definire alcune funzioni, indipendenti dalle lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa.

Dunque, fra le possibili, definiamo le seguenti:

o, con diversa notazione, relativa ad un qualsiasi triangolo rettangolo in  con angoli acuti in  e in :

Queste relazioni possono essere utilizzate per le seguenti definizioni:

Il seno di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto opposto all'angolo x e l'ipotenusa.

Il coseno di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto adiacente all'angolo x e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto opposto all'angolo x e quello ad esso adiacente.

Si tratta dunque sempre di un rapporto tra due grandezze omogenee (lunghezze), espresso da un numero puro. Pertanto, anche se, nelle definizioni, viene utilizzata normalmente la cosiddetta circonferenza goniometrica di raggio unitario (che individua l'ipotenusa del triangolo rettangolo), è del tutto errato dire, ad esempio, che il seno di un angolo è dato dalla lunghezza del cateto opposto!!!

Queste stesse definizioni saranno utilizzate per la 'risoluzione' dei triangoli rettangoli, riportata nel capitolo sulla Trigonometria.

Per comodità riportiamo di seguito i valori assunti dalle tre funzioni per alcune ampiezze di angoli compresi nell'intervallo [0,π/2]: