Equazioni irrazionali.

E' irrazionale una equazione in cui la variabile compare sotto il segno di radice.

I problemi con questo tipo di equazioni sorgono essenzialmente nel caso che l'indice del radicale sia pari, in quanto, per gli indici dispari è sufficiente elevare ambo i membri all'opportuna potenza.

Nel caso di indici dispari, non occorre imporre alcuna condizione di realtà per il radicando in quanto il numero con n dispari è reale per tutti i valori di f(x).

Ciò vale in tutti i casi del tipo:

con n ed m dispari.

Per la risoluzione di un'equazione irrazionale ad indici dispari del tipo:

si devono elevare ambo i membri alla potenza n-esima (con n dispari) prima e a quella m-esima (con m dispari) poi per ottenere l'equazione equivalente:

che, essendo razionale, può essere risolta con i metodi già indicati per le equazioni algebriche.

Per le disequazioni irrazionali ad indice pari bisogna invece imporre sempre la condizione di realtà per tutti i radicali coinvolti e quindi si deve in ogni caso risolvere un sistema di equazioni/disequazioni: la soluzione sarà rappresentata dall'intersezione degli insiemi di verità di tutte le disequazioni del sistema.

Le equazioni irrazionali ad indice pari (cilimitiamo al caso più frequente delle radici quadrate) sono essenzialmente di 2 tipi distinti:

supponendo, in tutti i casi, che i radicali siano assunti con valore positivo.

I)

che si risolve con il sistema:

tradotto nel sistema risolutivo:

II)

che si risolve con il sistema:

tradotto nel sistema risolutivo: