Equazioni in valore assoluto.

Per definizione, si ha:

La funzione dunque non assume mai valori negativi.

Un'equazione del tipo non ha soluzione.

Un'equazione del tipo    o una del tipo ha soluzioni che dipendono dal valore di x.

Analizziamo dapprima la: | f(x) | = k, con k ≥ 0

Si verificano due casi distinti:

a) f(x) ≥ 0 ⇒ f(x) = k

b) f(x) < 0 ⇒ f(x) = -k

e le soluzioni dell'equazione sono date dall'unione di quelle delle due equazioni.

Ad esempio:

|x-3| = 1 equivale alle due equazioni:

x – 3 = 1, con soluzione x = 4 (quando x-3 >0, cioè x > 3)

x – 3 = -1, con soluzione x = 2 (quando x-3 < 0, cioè x < 3)

Quando x=3, l'equazione non ha soluzione.

Passiamo ora alla: | f(x) | = g(x)

In questo caso si dovrà comunque verificare che g(x) ≥ 0 perchè in caso contrario l'equazione non potrebbe mai essere soddisfatta. Pertanto un'equazione di questo tipo si traduce nei due sistemi seguenti:

Ad esempio:

|x²-3x-7| = 2x-4 equivale ai due sistemi:

2x-4 ≥ 0                                   2x-4 ≥ 0

x²-3x-7 ≥ 0       e                     x²-3x-7 < 0

x²-3x-7 = 2x-4                         x²-3x-7 = -2x+4

graficamente rappresentati da:

Dunque il primo sistema ha per soluzione x₃ visto che solo per questo valore di x risulta: 2x-4 ≥ 0 e x²-3x-7 ≥ 0 (primo sistema).

Mentre per il secondo sistema si ha:

e quindi l'unica soluzione accettabile è fornita da x₄ perchè solo per essa risulta:

2x-4 ≥ 0 e x²-3x-7 < 0 (secondo sistema).
In definitiva l'equazione: |x²-3x-7| = 2x-4 ha per soluzioni x = e   x =