Risoluzione di equazioni del tipo sin(f(x)) = m e analoghe

Per comodità del 'lettore', riportiamo di seguito alcuni valori delle tre funzioni per angoli che frequentemente si incontrano negli esercizi assegnati in classe e per i rispettivi periodi:

Valori del seno dell'angolo:

Valori del coseno dell'angolo:

Valori della tangente dell'angolo:

I due metodi grafici sopra utilizzati servono a risolvere le equazioni goniometriche nei casi che capitano più frequentemente, cioè quando m corrisponde ad un valore noto della funzione considerata; in caso diverso, si dovrà ricorrere alle tavole dei valori delle funzioni goniometriche o all'uso di una calcolatrice o di un computer, ma in ogni caso, hanno il pregio notevole di individuare tutte le possibili soluzioni all'interno del periodo; senza la rappresentazione grafica, capita spesso infatti di 'dimenticare' qualche soluzione (trascurando così una infinità di valori..). Ad esempio, l'equazione sin(y) = 0,5 ha certamente come soluzione y = π/4, ma ha anche 3 / 4 π , che viene spesso dimenticata.
Una volta determinate le soluzioni all'interno del periodo della funzione considerata, tutte le altre soluzioni dell'equazione goniometrica si ottengono aggiungendo e togliendo ad esse un numero qualsiasi di periodi; ad esempio, se le soluzioni dell'equazione sin(y) = m sono, nel periodo 2π , y₁ ed y₂, tutte le altre soluzioni si possono scrivere sinteticamente:

Analogamente per l'equazione cos(y) = m.
Per l'equazione tan(y) = m, bisogna tener presente invece che il periodo della funzione è π, e quindi tutte le soluzioni si possono scrivere nel seguente modo:

se y₁ è la soluzione trovata all'interno del periodo e che la funzione ha come punti singolari in cui non è definita, tutti i valori di x = π/2 ± kπ.

Quanto detto sopra è ovviamente valido anche nel caso più frequente in cui l'equazione sia del tipo sin(x) = m, cos(x) = m o tan(x) = m.

Facciamo un esempio concreto di applicazione del metodo al caso che la funzione f(x), argomento del seno, sia f(x) = 3x – 5 e quindi che si debba risolvere la: